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08.11.2017

Alguien espera en un restaurante, tiene algo de hambre pero no quiere adelantarse a pedir. De la cesta que ocupa el centro de la mesa toma un pancito, corta la mitad y se la come. Sigue esperando, toma la mitad de la parte que quedó y repite la operación, ingiere ahora la cuarta parte del pancito original.

Luego un octavo, un dieciseisavo, y se entretiene así, hasta que debe esforzarse para dividir una porción que es ya del tamaño de una miga. En su cabeza va tomando forma la idea de que medio pan, más un cuarto de pan, más un octavo, más un dieciseisavo, etcétera, etcétera, etcétera, toda esa cantidad infinita de porciones juntas, completan un pan entero. Su celular suena, le avisa de un pequeño retraso de la persona que aguarda. Anuncia que en un par de minutos estará a su lado.

Por la misma época en que tomé contacto con la metáfora sobre la igualdad

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 + ..... =1

encerrada en la subdivisión infinita de un pancito, aprendí que

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+ ......

arroja un resultado infinito. Poco después que

1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36 + .....

es igual al cuadrado de pi (sí, el mismo pí que aparece en la fórmula de la longitud de la circunferencia y el área del círculo) dividido 6. Todos estos resultados constituyeron ejercicios desafiantes y estimulantes para mi formación.

Al mismo tiempo que a través de ellos iba avanzando en el terreno de la Matemática, también comenzaba a enterarme de que, además de carpinteros, maestros, jugadores de fútbol, bomberos, ingenieros y profesores de Matemática,  en el mundo existen matemáticos. Hombres y mujeres que se dedican profesionalmente a la investigación en Matemática. A falta de mejor información concebí una teoría simple pero momentáneamente satisfactoria acerca de este oficio: los matemáticos deben dedicarse a calcular los valores precisos de todo este tipo de sumas infinitas como las que acabo de compartir con el lector -y de otros procedimientos de cálculo que estaba aprendiendo en esa época, como son, por ejemplo, las integrales-.

En un momento de mi vida terminé yo mismo haciendo la opción de convertirme en matemático. A lo largo de mi formación fui tomando conocimiento de una pequeña fracción  del enorme abanico de preguntas que intentan responder mis colegas. Al interior de esta comunidad se les llama "problemas abiertos", para distinguirlos de los ejercicios que los estudiantes deben resolver en algun curso -como evaluar cada una de las sumas infinitas que usé en los ejemplos de este artículo-, porque de estos problemas abiertos nadie conoce la solución. No hay en el mundo ningún maestro ni profesor a quién ir a preguntarle el resultado correcto.

Las fuentes de esas preguntas son muy variadas. Muchas provienen de la propia estructura interna de la Matemática: la exploración de los patrones y relaciones de ideas entre los distintos campos de la Matemática genera permanentemente interrogantes. Es como pasearse con espíritu curioso por un territorio en el que cada hallazgo inmediatamente dispara la pregunta: ¿qué habrá un poco más allá? ¿un poco más arriba? ¿un poco más abajo? ¿cómo se conecta este lugar con los otros que ya conozco? Muchas otras provienen de la aplicación de la Matemática a otras áreas del conocimiento. Hace ya siglos que el desarrollo de la Física impulsa y se entrelaza de manera indisoluble con el de la Matemática, pero la realidad actual es más amplia y rica y desborda este vínculo clásico y aún vigente. La Matemática contemporánea tiene relaciones vigorosas y mutuamente estimulantes con prácticamente todas las disciplinas.

Lo más interesante es que la frontera entre los problemas motivados interna y externamente es difícil de trazar e incierta: es habitual que al ir hacia las cumbres más altas de la abstracción la Matemática nos devuelva resultados con descomunales implicancias prácticas, y que la consideración de problemas provenientes de otras áreas del conocimiento desemboque en nuevos métodos que amplien los dominios de la Matemática.

Por ejemplo, los trabajos del francés Evaristo Galois en la primera mitad del siglo XIX estaban motivados por su interés en comprender las soluciones de un cierto tipo de ecuaciones algebraicas, un problema candente en esa época. Las ideas que introdujo no sólo permitieron resolver esos problemas, sino otros mucho más antiguos como la cuadratura del círculo y se anticiparon a las necesidades de teorías inexistentes en su época, que en la actualidad están en la base de la tecnología de comunicaciones de nuestra civilización. 

El quinto postulado de Euclides sobre la existencia en el plano de una única paralela a una recta por un punto exterior a ella, es un viejo conocido que seguramente nos acompañe desde la escuela. Los intentos por probarlo o refutarlo a partir del resto de los axiomas de la geometría euclidiano condujeron a la creación de geometrias no euclidianas, básica para la formulación de la teoría general de la relatividad y para la aplicación de ideas geométricas en dominios que van mucho más allá del espacio físico. Entre muchas otras aplicaciones, tienen su lugar en el procesamiento automático de imágenes que apoya el diagnóstico médico.

Estos son solo un par de ejemplos entre un mar de ellos y la lista seguirá creciendo, igual que sus relaciones con problemas de otros campos del conocimiento, tanto puros como aplicados. Por ejemplo, la llamada de celular con la que se cierra el breve relato del primer párrafo de esta nota, es posible porque la humanidad ha desarrollado una matemática sofisticada que ha permitido describir las ondas electromagnéticas, controlar los procesos de fabricación, subdividir el espacio para que muchos celulares puedan coexistir, codificar y decodificar la información, etcétera.

Los matemáticos se ocupan en la actualidad de miles de problemas abiertos, motivados por las cuestiones más diversas. La mayoría tienen una formulación demasiado técnica como para compartirla en esta nota, pero algunos no. Entre ellos destacan algunas viejas preguntas centenarias, relacionadas con los números primos.

Los números primos son viejos conocidos de nuestros años escolares: se trata de los números naturales mayores que 1 que no tienen otros divisores que ellos mismos y el propio 1. La siguiente lista agota los números primos comprendidos entre 1 y 120: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.

Nadie sabe contestar a la fecha la pregunta que Christian Goldbach formuló en 1742 en una carta dirigida a Leonardo Euler: ¿es posible escribir todo número par mayor que 2 como suma de dos números primos? Se trata de un problema abierto de formulación elemental. Es un ejercicio fácil comprobar los primeros casos, como 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3 y 10=7+3 (o 10=5+5), pero ninguna búsqueda finita agotará los números pares, y aunque ya se ha realizado hasta números del orden del millón de millón de millones, esta evidencia relevante no constituye una demostración.

Otros problemas importantes y difíciles acerca de los números primos tienen que ver con su distribución. Desde la antigüedad es conocido que existe una cantidad infinita de ellos, pero su distribución encierra aún hoy unos cuantos misterios. Si bien exhiben cierta regularidad estadística, cuando se mira el detalle se encuentra que van apareciendo de modo aparentemente aleatorio. Si examinamos los números naturales entre 1 y 120 encontramos abundantes números primos al principio, algunas lagunas sin números primos y una súbita racha de cuatro números primos muy próximos, luego del número 100. Algunos primos aparecen relativamente apartados del resto, como el 67 o el 79, pero otros están agrupados. Además de la serie inicial 2, 3, 5, 7, con cuatro primos muy agrupados, observamos luego las siguientes parejas: 11 y 13, 17 y 19, 41 y 43, 59 y 61, 71 y 73, 101 y 103, 107 y 109. Obviamente, no puede haber otros primos consecutivos diferentes de 2 y 3, porque cualquier número primo mayor que 2 es necesariamente impar.  Por lo tanto, las parejas que acabamos de mencionar están formadas por números primos mayores que dos tan próximos entre sí como es posible. Reciben el nombre de primos gemelos. A la fecha, nadie sabe si los primos continúan apareciendo indefinidamente o hay una última pareja de primos, a partir de la cual los primos empiezan aparecer aislados, un tanto alejados de sus congéneres. Sin embargo, sí se conoce un resultado cuyo enunciado resulta a  primera vista bastante sorprendente. Si se calcula la suma

1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/41+1/43+1/59+1/61+1/71+1/73 ....

donde cada sumando es igual a uno dividido un primo gemelo, y se incluye a todos los primos gemelos en el cálculo, el resultado es un número finito. Como no se se sabe si los primos gemelos son una cantidad finita o infinita y la suma tiene un sumando por cada primo gemelo, no se sabe si la suma tiene una cantidad infinita o infinita de sumandos. Tampoco puede decidirse esta cuestión a partir del conocimiento de su resultado es finito. Obsérvese que este artículo se abre con el ejemplo de una suma infinita que tiene un resultado finito.

Un problema mucho más profundo relacionado con la distribución de los primos y con las propiedades de ciertas sumas infinitas es la llamada Hipótesis de Riemann. Su formulación es mucho más técnica y no la discutiremos aquí, pero  ha ganado cierta notoriedad a partir de su inclusión en la lista de los siete problemas del milenio, disponible en el sitio web http://www.claymath.org/millennium-problems del Instituto Clay. De estos siete notables desafíos uno, la Conjetura de Poincaré, ha sido resuelto por el matemático ruso Grigory Perelman, pero los otros seis continúan desafiando a los matemáticos de todo el mundo.

Hay además  muchos otros problemas abiertos, de menor envergadura y vida más corta. Todos ellos alimentan el quehacer diario de la colectividad matemática internacional, principal protagonista de la investigación en la disciplina y su crecimiento permanente.  Todos estimulan una actividad que genera un conocimiento que la humanidad acumula permanentemente, a lo largo del tiempo y el espacio, que trasciende a cada generación aunque para apropiarse de él cada generación deba ser capaz de recrearlo a su manera y que de modos directos o sutiles, más tarde o más temprano, termina por afectar  la vida de todas las personas del mundo.

Omar Gil es Licenciado en Matemática por la Universidad de la República (UdelaR) y Doctor en Matemática por la Universidad Autónoma de Madrid.

En la actualidad es Profesor Titular de la Cátedra de Matemática de la Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo de la UdelaR y Profesor Agregado del Instituto de Matemática "Prof. Ing. Rafael Laguardia" de la Facultad de Ingeniería de la misma universidad.

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